пятница, 10 декабря 2021 г.
Тема урока: Геометрический смысл уравнения первой степени с двумя неизвестными
Казакова Наталия Павловна, учитель математики ГБОУ СОШ № 306 с углубленным изучением английского языка Адмиралтейского района Санкт- Петербурга
Тема урока: Геометрический смысл уравнения первой степени с двумя неизвестными
Предмет, класс: алгебра, 7 класс
Тип урока: урок открытия новых знаний
Технология проведения урока: элементы технологии анализа конкретной ситуации, ИКТ
Цели урока
Обучающие:
¾ Закрепить понятие линейного уравнения с двумя переменными;
¾ Закрепить представление о том, что решением уравнения с двумя неизвестными служит упорядоченная пара чисел;
¾ Ввести понятие графика уравнения ax + by + c = 0, пояснить, что геометрической моделью линейного уравнения с двумя неизвестными является прямая линия;
¾ Изучить алгоритм построения графика уравнения вида ax + by + c = 0, где а ¹ 0 или b ¹ 0, обучить построению графиков конкретных линейных уравнений с двумя неизвестными;
¾ Формировать умения анализировать факты и самостоятельно делать выводы.
Развивающие:
¾ Развитие познавательной активности и творческого мышления;
¾ Развитие логического мышления, способности четко формулировать свои мысли;
Воспитательные:
¾ Способствовать раскрытию учащимися практической и теоретической значимости изучаемого материала;
¾ Воспитание активности, аккуратности, самоконтроля и самооценки;
¾ Воспитание чувства ответственности, культуры общения;
¾ Формирование графической культуры при построении чертежей.
Оборудование и материалы к уроку: персональный компьютер, мультимедийный проектор, экран для проектора, презентация, раздаточные материалы: листы с заданиями (Приложение 1), линейки, цветные карандаши
Ход урока
1. Организационный этап.
2. Повторение пройденного материала, подготовительная работа и исследовательская работа.
3. Изучение нового материала.
4. Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию. Рефлексия.
Организационный этап:
Учитель сообщает учащимся тему урока, цель, знакомит с основными этапами урока, видами работ и системой оценок и поясняет, как в течение урока будет использоваться тот раздаточный материал, который находится у них на партах.
На предыдущем уроке дано представление о линейных уравнениях с двумя неизвестными как математических моделях реальных ситуаций, понятие уравнения первой степени с двумя неизвестными, представление о том, что решением уравнения с двумя неизвестными служит упорядоченная пара чисел, отработаны навыки перехода от линейного уравнения ах + bу = с к уравнению
Повторение пройденного материала
Фронтальный опрос
Разминка
Вариант 1 | Вариант 2 |
Укажите координаты точек
| Укажите координаты точек
|
В процессе проверки выполнения задания учитель задает вопросы по изученному ранее материалу:
№ | Вопросы | Предполагаемые ответы учащихся |
1 | Как называется область, в которой расположены точки? Какая плоскость называется координатной? | Координатная плоскость. На которой выбрана система координат. |
2 | Как построить прямоугольную декартовую систему координат? | Построить две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единичным отрезком, точку пересечения прямых считать началом отсчета. |
3 | Как обозначается направление, и каково его предназначение? | Направление движения по прямой от начала координат показывают стрелкой. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа, а противоположном направлении – противоположные им, отрицательные числа. |
4 | Какой отрезок называется единичным, для чего задают единичный отрезок? | Единичный отрезок — величина, принимаемая за единицу при геометрических построениях. Задав единичный отрезок, длине любого отрезка можно сопоставить некоторое число на числовой оси. |
5 | Как называются числовые оси в прямоугольной декартовой системе координат? | Горизонтальная – ось абсцисс (ось ОХ), вертикальная – ось ординат (ось ОУ) |
6 | Как определить координаты точки в декартовой системе координат? Как записать координаты точки? | Проведем через данную точку прямые линии, перпендикулярные осям. Расстояния от точек пересечения построенных прямых с осями абсцисс, ординат до начала координат, взятые со знаком «+», если точки лежат на положительных полуосях, и со знаком «–», если они лежат на отрицательных полуосях, и будут координатами данной точки. (x; y). |
7 | Как записать координаты точки, если она смещена только вдоль одной оси? Назовите соответствующие точки и их координаты.
I вариант, внимание! Абсцисса точки С (-4) и она удалена от оси ординат влево на …единичных отрезка. Есть ли еще в координатной плоскости точки, удаленные от оси ординат на 4 единичных отрезка влево? Приведите пример. Сколько таких точек? Они образуют …? Как в виде равенства записать эту линию? (Аналогичный вопрос II варианту). | Если точка смещена только вдоль оси абсцисс, то ее ордината равна нулю – (х; 0), если точка смещена только вдоль оси ординат, то ее абсцисса равна нулю – (0; y). Точка С лежит на оси абсцисс, С(-4; 0) – I вар., точка H лежит на оси ординат, H(0; -3) – II вар. 4, например, (-4;5), бесконечное множество, линию, х = -4. ( I вар.)
3, например, (2;-3), бесконечное множество, линию, у = -3. ( II вар.) |
8 | Назовите точки и их координаты, если обе координаты положительны. Четверть? | A(2; 1) – I вар., G(1; 2) - II вар., I четверть. |
9 | Назовите точки, расположенные в IV четверти и их координаты | E(2,5; -3) – I вар., J(3; -1,5) - II вар. |
10 | Назовите точки и их координаты, если абсцисса точки отрицательна, ордината – положительна. Четверть? | B(-3, 4) – I вар., F(-2; 3) - II вар, II четверть. |
11 | В какой координатной четверти располагаются точки, если обе координаты отрицательны? Назовите точки и их координаты. | В III четверти. D(-2, -2) – I вар., I(-4; -1) - II вар. |
Координаты точек последовательно появляются на доске:
№ | Вариант 1 | № | Вариант 2 |
1. | A(2; 1) | 1. | F(-2; 3) |
2. | B(-3, 4) | 2. | I(-4; -1) |
3. | С(-4; 0) | 3. | G(1; 2) |
4. | D(-2, -2) | 4. | H(0; -3) |
5. | E(2,5; -3) | 5. | J(3; -1,5) |
В ходе самопроверки учащиеся обводят кружком номера верных ответов.
Подготовительная работа и исследовательская работа:
Составьте словосочетания с прилагательными:
Линейная ….. (функция)
Линейное … (уравнение с одной неизвестной)
Линейное … (уравнение с двумя неизвестными)
На доске записаны равенства, выберите среди них те, которые:
a) Задают линейную функцию y(x);
b) Являются линейными уравнениями с одной переменной или приводимыми к ним;
c) Являются линейными уравнениями с двумя переменными
1. у=3х+1; 5. у= - 2х+х+3; 9. х +3у – 2 =0; 13. у – 2 = 5;
2.
3. 5x + 2y = 70; 7.
4. у = 5х2-1; 8. у = x3+7x-1; 12.
Ответ: a) 1; 5; 13; 14; b) 2; 6; 7; 10; 12; 13; c) 3; 9; 11.
Вызывает сложность установление соответствия заданий с №№ 5, 6, 13, 14, 15. Мнения учащихся расходятся относительно принадлежности задания № 12 к уравнениям, приводимым к линейным.
Решение уравнения
9х2 + 24х + 16 - 9х2 +1 = 65; 24x = 65 – 16 – 1; 24x = 48 - привели уравнение к виду ах = в, значит, данное уравнение приводится к линейному уравнению с одной переменной; x = 2.
Ответ: 2
Проверка решения задачи из домашнего задания
Задача: Некто подошел к клетке, в которой сидели фазаны и кролики. Сначала он сосчитал головы, их оказалось 15. Потом он подсчитал ноги, их было 42. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?
Решение ученика
Пусть х – число кроликов, тогда фазанов (15-х), тогда у кроликов (4х) ног, у фазанов – 2(15-х) ног.
Составим уравнение. Известно, что всего 42 ноги.
4х + 2(15 – х) = 42, 4х + 30 – 2х = 42, 2х = 12, х = 6.
15 – 6 = 9
Ответ:6 кроликов и 9 фазанов.
Во время приведения учеником решения, учитель просматривает выполнение домашнего задания у учащихся класса и обнаруживает другое решение задачи, появившееся при содействии папы ученика, которое выносится на обсуждение.
Решение ученика, который обращался за помощью к папе:
Пусть х – число кроликов, у – число фазанов, где х и у – натуральные числа. У кроликов по 4 ноги, у фазанов – по 2 ноги.
Составим уравнения по условиям задачи. Известно, что голов – 15, ног – 42.
х + у = 15, 4х + 2у = 42 ,
Папино решение этих уравнений не понял, поэтому перебирал возможные варианты слагаемых (1 и 14; 2 и 13; 3 и 12; …, (6;9),….; 14 и 1), сумма которых равна 15, нашел пару чисел (6; 9), удовлетворяющую второму уравнению (4*6 + 2*9 = 42).
Ответ:6 кроликов и 9 фазанов.
Вывод ученика: в натуральных числах уравнение х + у = 15 имеет 14 решений, уравнение 4х + 2у = 42 - 9 решений – (1;19), (2;17), (3;15), (4;13), (5; 15), (6; 9), (7;7), (8; 5), (10; 3), но только одно из них, (6; 9), является общим для обоих уравнений.
Вопросы:
¾ Можно ли записать решение в виде (9; 6)? (нет, т.к. (х; y)).
¾ Как называют пару чисел, записанную в определенном порядке? (упорядоченная пара)
Исследовательская работа:
Вариант 1 | Вариант 1 |
По рисунку составьте математическую модель задачи (х и у - последовательно) Выразите неизвестную у через х. Найдите значение переменной у, при х = 35, x = 23, x= 43. Ответ: х = 35 у = 30 или (35; 30); x = 23 у = 39 или (23; 39); x= 43 у = 24 или (43; 24). | По рисунку составьте уравнение первой степени с двумя неизвестными (х и у - последовательно) Выразите неизвестную у через х. Найдите значение переменной у, при х = 16 000, х = 12 200 , х =10 500. Ответ: х = 16 000 у = 8079 или (16 000; 8079); x = 12 200 у = 6179 или (12 200; 6179); x= 10 500 у = 5329 или (10 500; 5329). |
Как вы считаете, ребята:
¾ какой вариант решения наиболее вероятный?
¾ можно ли подобрать еще пару или несколько пар натуральных чисел, удовлетворяющих условиям задач?
¾ могут ли эти числа быть дробными? отрицательными?
¾ как изменить условие задачи так, чтобы задача имела единственное решение? (например, задать, что x + y = c)
Мы рассмотрели практические задачи, описывающие ситуации, с которыми мы сталкиваемся ежедневно. Конкретные целые значения х, удовлетворяющие смыслу задачи, были выбраны произвольно.
Попытайтесь сами найти пару чисел, являющихся решением уравнения 5x + 2y = 70, если:
1. оба числа натуральные; (возможные варианты ответов: (2; 30), (4; 25), (6; 20), (8; 15), (10;12), (12; 5))
2. одно число натуральное, другое - целое неотрицательное (не натуральное); (варианты ответов: (0; 35), (14; 0))
3. одно число целое, другое – дробное; (возможные варианты ответов: (
4. оба числа дробные; (например, (
5. одно из чисел отрицательное; (возможные варианты ответов: (-2; 40), (16; -5),….)
6. оба числа отрицательные. (невозможно, т. к. сумма двух отрицательных произведений – отрицательна)
Вы предложили несколько пар чисел, являющихся решениями одного линейного уравнения с двумя неизвестными. Как вы считаете, сколько их? (ожидаемый ответ: бесконечное множество). Мы еще раз убедились, что уравнение первой степени с двумя неизвестными имеет множество решений в целых числах и бесконечное множество решений в рациональных числах.
Поясните, пожалуйста, как вы находили упорядоченные пары чисел. (возможные варианты ответов: 1. задавая произвольные значения неизвестной х, подставляли в уравнение и вычисляли значение у; 2. выразили неизвестную у через х, получили, у = 35 – 2,5х, затем, при различных значениях х, по формуле вычисляли значение у.)
Вопросы:
¾ Можно ли, взять произвольное значение у, найти значение х? Выразить неизвестную х через у? Верно ли это? (Да) Кто из вас таким образом находил пары чисел?
¾ Какой зависимостью связаны х и у в уравнении? (ожидаемый ответ: функциональной зависимостью).
Уточним, значение у зависит от выбранного значения независимой переменной х, причем каждому значению х соответствует единственное значение у. Тогда, х — независимая переменная (или аргумент), у — зависимая переменная, получили функциональную зависимость, которую можно иллюстрировать с помощью графика функции. Какого вида этот график мы выясним сегодня.
Изучение нового материала.
Слайды № 1 и № 2
В тетрадях:
Дано уравнение первой степени с двумя неизвестными ах + ву +с = 0 , где а≠0, в≠0, с≠0.
Убедимся, что графиком этого уравнения является прямая линия.
Воспользуемся способом, предложенным вами ранее, и выразим неизвестную у из уравнения через неизвестную х.
ах + ву +с = 0, ву = - ах – с,
Вопросы:
¾ Равенство
¾ Какие графики мы умеем строить? (график линейной функции)
¾ Какой вид имеет график линейной функции? (графиком линейной функции является прямая)
Сделайте вывод: (возможные варианты ответов: графиком этого уравнения является прямая; графиком уравнения первой степени с двумя неизвестными является прямая линия).
Как вы считаете, отношения
а, в, с – это …?(числа). Которые могут быть …? (положительными или отрицательными).
И т.д., в результате учащиеся приходят к выводу, что каждое из отношений может быть как положительным, так и отрицательным.
Следующее задание мы выполним совместно, а затем, вы будете работать самостоятельно.
Задание 1 (На доске и в тетрадях)
Постройте график уравнения первой степени с двумя неизвестными, если: а = 2, в = -1, с = - 4.
Вам уже известно изречение: «График – это говорящая линия, которая может о многом рассказать» (М.Б. Балк). О чем может «рассказать» нам график линейного уравнения с двумя неизвестными? (ожидаемый ответ: можем найти его решения)
По графику найдите какое-нибудь решение уравнения и проверьте.
1. Запишем уравнение 2х – у – 4 = 0; 2. Выразим неизвестную у из уравнения через неизвестную х – у = - 2х + 4, у = 2х – 4; 3. Построим график функции у = 2х – 4; 4. По графику найдем решение уравнения 2х – у – 4 = 0, например, (4; 4). Проверим: (При построении графика линейной функции повторяется алгоритм его построения) |
Задание 2
Постройте график уравнения первой степени с двумя неизвестными, если: а = - 1, в = - 3, с = 5. По графику найдите какое-нибудь решение уравнения и проверьте.
К доске приглашается ученик, остальные работают в тетрадях.
1. Запишем уравнение - х – 3у + 5 = 0 2. Выразим неизвестную у из уравнения через неизвестную х –3у = х - 5, 3у = - х + 5, 3. Построим график функции 4. По графику найдем решение уравнения - х – 3у + 5 = 0, пусть (- 1; 2), Проверим: | |
Определения:
Упорядоченная пара значений переменных, обращающая уравнение с двумя неизвестными в верное равенство, называется решением этого уравнения.
Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению с двумя переменными, называют графиком этого уравнения.
Практическая самостоятельная работа с элементами исследования
(по вариантам – 1 колонка, 2 колонка, 3 колонка – работа в малых группах: по 2человека)
На доске начерчены еще три координатные плоскости. По мере выполнения работы, по два ученика каждого варианта выходят к доске. Один дублирует построение графиков своего варианта, другой «достраивает» графики, на координатных плоскостях, на которых выполнялись построения при совместной работе.
1 колонка | 2 колонка | 3 колонка |
Дано уравнение ах + ву +с = 0 . Запишите уравнение с данными коэффициентами, выразите переменную у и постройте графики функций в одной системе координат, при условии: Задание 1 а = 0, в = -1, с = - 4 Задание 2 а = 0, в = - 3, с = 5 | Дано уравнение ах + ву +с = 0 . Запишите уравнение с данными коэффициентами, выразите переменную у и постройте графики функций в одной системе координат, при условии: Задание 1 а = 2, в = -1, с = 0 Задание 2 а = - 1, в = - 3, с = 0 | Дано уравнение ах + ву +с = 0 . Запишите уравнение с данными коэффициентами, выразите переменную у и постройте графики функций в одной системе координат, при условии: Задание 1 а = 2, в = 0, с = - 4 Задание 2 а = - 1, в = 0, с = 5 |
По окончании работы на доске:
| | | |
| | ||
Вопросы (Рис.4, 5):
¾ Есть ли какие-то особенности в расположении прямых? (видим параллельные прямые) Сравните уравнения этих прямых. Можно ли по уравнению определить, что прямые параллельны?
¾ Как можно назвать график прямой, проходящей через начало координат? (график прямой пропорциональности)
¾ Предложите способ построения прямой, параллельной графику прямой пропорциональности.(параллельный перенос графика)
По мере выполнения работы учащимися, проводится детальный анализ соответствия коэффициентов расположению графика уравнения первой степени с двумя неизвестными. В ходе обсуждения на экране появляются слады, соответствующие выводам учащихся.
Слайды | Выводы, полученные при активном участии учащихся |
№ 3,№ 4 |
Уравнение ах + ву +с = 0 при а = 0, в ≠ 0, с ≠ 0 имеет множество решений (х;
Графику этого уравнения принадлежат те, и только те точки, ординаты которых равны
|
№ 5,№ 6 |
Уравнение ах + ву +с = 0, при c = 0, а ≠ 0, в ≠ 0, имеет множество решений (х; у), где
График уравнения – прямая, проходящая через начало координат.
|
№ 7,№ 8 |
Уравнение ах + ву +с = 0 при в = 0, а ≠ 0, с ≠ 0 имеет множество решений ( Графиком этого уравнения является множество точек координатной плоскости, абсцисса которых равны |
№ 9 |
Уравнение ах + ву +с = 0, а≠0, в≠0, с≠0 имеет множество решений (х; у), где Графиком этого уравнения является прямая линия, проходящая через точку (0; Это множество точек координатной плоскости, полученных параллельным переносом графика прямой пропорциональности
|
Обобщение
Итак, уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечное множество решений, каждое из которых - упорядоченная пара значений переменных, (х;y), обращающая уравнение с двумя неизвестными в верное равенство. Графической иллюстрацией линейного уравнения с двумя неизвестными является прямая линия, координаты каждой точки которой удовлетворяют уравнению с двумя переменными.
При недостатке времени на уроке, эту работу и демонстрацию слайда № 10 можно перенести на следующий урок. Сформулируйте, пожалуйста, определение уравнения первой степени с двумя неизвестными. (Уравнение первой степени ах + ву + с = 0 с двумя неизвестными х и у есть зависимость, связывающая х и у, которые рассматриваются как переменные величины, где а, в, с- некоторые числа, причем, а и в не равны нулю одновременно) Мы рассмотрели все возможные случаи, при условии, что а и в не равны нулю одновременно. Почему накладывается такое ограничение? Как будет выглядеть уравнение, если а и в равны нулю одновременно? Запишите. (0х + 0у + с = 0) Как вы считаете, имеет ли решение это уравнение? Сколько их? От чего зависит количество решений? Каким вы представляете график? | № 10 |
Слайды № 11, № 12 для проверки домашнего задания на следующем уроке
Подведение итогов урока
1. Сколько решений имеет линейное уравнение с двумя неизвестными? Как записываются решения? Что является графической иллюстрацией линейного уравнения с двумя неизвестными? Что определяет расположение прямой линии в прямоугольной декартовой системе координат? Как по графику уравнения найти его решения?
2. Что изменилось в ваших знаниях и умениях? Что вы узнали нового? Чему научились? Какие выводы сделали? Ваши знания расширились? Что показалось особенно трудным?
3. Учитель отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет отметки.
Домашнее задание (Каждый ученик получает бланк с заданием) и комментарии по домашнему заданию
(Приложение 2)- текст домашнего задания.
Рефлексия. (Таблица 4 в раздаточном материале)
Ребята, на листах, на которых вы сегодня работали во время урока, есть таблица. Пожалуйста, закрасьте квадраты, в соответствии с инструкцией.
Урок окончен.
Листки, на которых учащиеся работали в течение урока, остаются на партах.
Примечание: с целью контроля знаний на следующем уроке проводится тестирование с использованием ПК «Знак». (Приложение 3)
Список использованной литературы
1. Муравин К.С., Муравин Г.К. Алгебра: Проб. учебник для 7-9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение. 1994;
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа: Учеб. пособие для поступающих в вузы.- М.: Высш. шк., 1995;
3. Смыкалова Е.В. Дополнительные главы по математике для учащихся 7 класса. СПб: СМИО Пресс, 2005;
4. Смыкалова Е.В. Сборник задач по математике для учащихся 7 класса. СПб: СМИО Пресс, 2003.
Технические средства, применявшиеся при разработке урока
1. Программа Micosoft Power Point;
2. ПК «Знак»;
3. ПК «Живая математика»